2014年浙江省考备考之浅谈剩余定理
发表于：2024-04-27 作者：MOA人才网编辑
编辑最后更新 2024年04月27日，剩余定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，又称孙子定理。公元前后的《孙子算经》中有"物不知数"问题："今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？"答为"
剩余定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，又称孙子定理。
公元前后的《孙子算经》中有"物不知数"问题："今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？"答为"23"。明朝程大位用歌谣给出了该题的解法："三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知"，到了18世纪高斯给出剩余定理这一概念，今天张老师带领大家了解一下剩余定理，从而摆脱各位同学之前只用枚举法的困境。
剩余问题的解法：
1.特殊情况
记住口诀：余同加余、和同加和、差同减差。
(1)余同加余
【例题1】有一个数除以4余2，除以5余2，除以6余2，问这个数为多少？
A.120 B.122C.121 D.123
方法一：代入排除法
方法二：由题意可知该除以4、5、6均余2，余数相同，属于余同，因此该数满足通项公式N=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，当n=2时，N=122,选择B项。
注：n前面的系数60是取4、5、6三个除数的最小公倍数。
(2)和同(除数和余数的和相同)加和
【例题2】某个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500内满足这样的自然数有多少个?
A.3 B.2 C.4 D.5
方法：此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足N=210n+8(n=0,1,2……)因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8,218,428三个数。
注：n前面的系数210是取5、6、7三个除数的最小公倍数。
(3)差同(除数与余数之差相同)减差
【例题3】有一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，问此数为多少？
A. 119 B. 121 C. 129 D. 131
公元前后的《孙子算经》中有"物不知数"问题："今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？"答为"23"。明朝程大位用歌谣给出了该题的解法："三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知"，到了18世纪高斯给出剩余定理这一概念，今天张老师带领大家了解一下剩余定理，从而摆脱各位同学之前只用枚举法的困境。
剩余问题的解法：
1.特殊情况
记住口诀：余同加余、和同加和、差同减差。
(1)余同加余
【例题1】有一个数除以4余2，除以5余2，除以6余2，问这个数为多少？
A.120 B.122C.121 D.123
方法一：代入排除法
方法二：由题意可知该除以4、5、6均余2，余数相同，属于余同，因此该数满足通项公式N=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，当n=2时，N=122,选择B项。
注：n前面的系数60是取4、5、6三个除数的最小公倍数。
(2)和同(除数和余数的和相同)加和
【例题2】某个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500内满足这样的自然数有多少个?
A.3 B.2 C.4 D.5
方法：此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足N=210n+8(n=0,1,2……)因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8,218,428三个数。
注：n前面的系数210是取5、6、7三个除数的最小公倍数。
(3)差同(除数与余数之差相同)减差
【例题3】有一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，问此数为多少？
A. 119 B. 121 C. 129 D. 131
定理
除数
剩余
余数
方法
相同
个数
例题
自然
自然数
最小
三个
公倍数
最小公倍数
系数
解法
问题
孙子
和同
特殊
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